Energia kinetyczna. Rozwiązywanie zadań - Zintegrowana Platforma Edukacyjna (2023)

Czy piłka tenisowa może mieć taką samą energię jak biegnący pies?

R1XUvpjB1VRQh1

Energia kinetyczna. Rozwiązywanie zadań - Zintegrowana Platforma Edukacyjna (1)

Już potrafisz

podać definicję energii jako wielkości fizycznej opisującej stan ciała lub układu ciał, wyrażającej jego zdolność do wykonania pracy;
przedstawiać energię mechaniczną jako sumę energii potencjalnej ikinetycznej;
podać definicję jednostki energii;
podać definicję energii potencjalnej.

Nauczysz się

od czego ijak zależy energia kinetyczna ciała;
obliczania energii kinetycznej ciała;
rozwiązywania zadań rachunkowych związanych zenergią kinetyczną.

iRI9TpLmdG_d5e184

Wjednym zostatnich podrozdziałów wspomnieliśmy orozpędzonej kuli do gry wkręgle. Stwierdziliśmy wówczas, że praca włożona wrozpędzanie kuli może zostać chociaż częściowo zwrócona, gdy kula przesuwa iprzewraca kręgle. Oznacza to, że kula dzięki wykonanej nad nią pracy zyskała energię. Ponieważ związana jest ona zruchem kuli, nazywamy ją energią kinetycznąenergią kinetyczną.

Od czego zależy energia kinetyczna poruszającej się kuli? Zacznijmy od doświadczenia.

Doświadczenie 1

Ustalenie, od czego zależy energia kinetyczna ciała.

Co będzie potrzebne

dwa przedmioty wkształcie walca ojednakowych średnicach iróżnych masach (mogą to być puszki po napojach lub dezodorantach – jedna pusta, druga pełna);
dwa jednakowe drewniane klocki lub inne niezbyt ciężkie przedmioty wkształcie prostopadłościanu (np. pudełka zapałek);
linijka;
kawałek kredy lub łatwo zmywalny mazak;
ściereczka lub nawilżona chusteczka do zmywania śladów kredy lub flamastra.

Instrukcja

Połóż drewniany klocek mniej więcej na środku ławki.
Zaznacz kredą lub flamastrem początkowe położenie klocka.
Połóż jeden zwalców wpobliżu krótszej krawędzi ławki ilekko popchnij go wstronę klocka.
R266QTdzOla0J1
Toczący się walec przesunął klocek – zaznacz miejsce, gdzie klocek się zatrzymał, izmierz przesunięcie klocka.
Zanotuj wynik wtabeli 1 izetrzyj ślady na ławce.
Powtórz czynności zpkt. 3–5, zwiększając wartość początkowej prędkości walca.
Tabela do doświadczenia 1.
Prędkość walca
Przesunięcie klocka [cm]
mała
średnia
duża
Teraz na środku ławki połóż dwa drewniane klocki, abliżej krótszej krawędzi – dwa walce oróżnych masach.
Zaznacz położenia początkowe pudełek. Przy ich ustawianiu ważne jest, aby odległość między walcem aklockiem była jednakowa dla obu par przyrządów.
Za pomocą linijki popchnij jednocześnie oba walce, tak aby uzyskały jednakową prędkość początkową.
R1J0wtx2lHUM91
Każdy zwalców przesunął „swój klocek” – zaznacz miejsca, gdzie klocki się zatrzymały, izmierz przesunięcia klocków.
Zanotuj wyniki wtabeli 2, zetrzyj ślady na ławce.
Tabela do doświadczenia 2.
Walec
Przesunięcie klocka [cm]
omniejszej masie
owiększej masie
Wprawianie walców wruch tak, aby toczyły się po linii prostej, popychały klocki – anie odbijały się od nich, oraz aby przesunięcia klocków nie były większe od długości ławki, wymaga nieco wprawy. Dlatego czynności opisane wtej instrukcji warto powtórzyć kilka razy.

Tabela do doświadczenia 1.
Prędkość walca	Przesunięcie klocka [cm]
mała
średnia
duża

Tabela do doświadczenia 2.
Walec	Przesunięcie klocka [cm]
omniejszej masie
owiększej masie

Podsumowanie

Jeśli przesunięcia klocka zanotowane wdrugiej kolumnie tabeli 1 były coraz większe, oznacza to, że praca wykonana przez walec była coraz większa. Walec wykonywał pracę kosztem swojej energii kinetycznej. Jeśli mógł wykonać większą pracę, to znaczy, że miał większą energię. Możemy zapisać wniosek, że energia kinetyczna toczącego się walca zależy od jego prędkości, przy czym większa wartość prędkości oznacza większą energię kinetyczną.
Jeśli walec owiększej masie przesunął pudełko na większą odległość, to znaczy, że wykonał większą pracę. Podobnie jak poprzednio walce wykonywały pracę kosztem energii kinetycznej. Większa praca została wykonana przez ten walec, który miał więcej energii. Zwyników wtabeli 2 wynika, że większą energię miał walec owiększej masie. Ponieważ oba walce miały taką samą wartość prędkości, możemy zapisać wniosek, że energia kinetyczna toczącego się walca zależy od jego masy, przy czym większa masa oznacza większą energię kinetyczną.

Nasze doświadczenie miało charakter jakościowy, nie mierzyliśmy bowiem prędkości walców, ale wnioski ztego doświadczenia można rozszerzyć na inne ciała znajdujące się wruchu.

Zapamiętaj!

Energia kinetyczna ciała rośnie wraz ze wzrostem masy ciała oraz ze wzrostem jego prędkości.

Wcelu wyprowadzenia wzoru opisującego zależność energii kinetycznej od masy iprędkości ciała przeprowadźmy doświadczenie wirtualne.

RpkbrMhB0oPS61

Energia kinetyczna. Rozwiązywanie zadań - Zintegrowana Platforma Edukacyjna (4)

Obliczmy pracę wykonaną przez siłę Fprzy rozpędzaniu samochodu:

$W = F \cdot s$

gdzie siła $F$ zgodnie zdrugą zasadą dynamiki jest równa $F = m \cdot a$ , adrogę wruchu jednostajnie przyspieszonym można wyrazić wzorem:

$s = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^{2}$

Zatem po podstawieniu do wzoru na pracę wyrażeń na siłę idrogę otrzymujemy zależność:

$W = F \cdot s = m \cdot a \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^{2} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot {(a \cdot t)}^{2} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^{2}$

Skorzystaliśmy tutaj zprzemienności mnożenia oraz ze wzoru na prędkość wruchu jednostajnie przyspieszonym: $v = (a \cdot t)$ .

Zgodnie zprzyjętą wcześniej definicją praca sił zewnętrznych jest równa przyrostowi energii ciała – wtym wypadku energii kinetycznej.
Ostatecznie możemy zapisać:

$E_{kin} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^{2}$

energia kinetyczna

– jedna zform energii mechanicznej, którą posiadają ciała będące wruchu. Energia kinetyczna zależy od masy ciała oraz wartości jego prędkości. Energia ta równa jest pracy, jaką trzeba wykonać, aby ciało omasie $m$ rozpędzić do prędkości $v$ (lub zatrzymać ciało będące wruchu). Jednostką energii kinetycznej, tak jak wszystkich innych form energii, jest dżul.
Wartość energii kinetycznej ciała jest równa iloczynowi połowy masy ciała ikwadratu wartości prędkości ciała:

$energia kinetyczna = \frac{1}{2} \cdot masa \cdot {prędkość}^{2}$

$E_{kin} = \frac{1}{2} \cdot {m \cdot v}^{2}$

* Wzór ten jest poprawny tylko wpewnym zakresie prędkościpoprawny tylko wpewnym zakresie prędkości

iRI9TpLmdG_d464e195

iRI9TpLmdG_d5e405

Ćwiczenie1

R1aQd2a6cnqsv1

Energia kinetyczna. Rozwiązywanie zadań

Przejdźmy teraz do sposobów obliczania energii kinetycznej. Oto kilka przykładów.

Przykład1

Oblicz energię kinetyczną wózka widłowego omasie 300 kg, poruszającego się zprędkością $5 \frac{m}{s}$ .
Dane:
$m = 300 kg$ ,
$v = 5 \frac{m}{s}$ .
Szukane:
$E_{kin} = ?$
Rozwiązanie:
Energię kinetyczną obliczamy, korzystając zwcześniej zapisanego wzoru:
$E_{kin} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^{2} = \frac{1}{2} \cdot 300 kg \cdot {(5 \frac{m}{s})}^{2} = 150 \cdot 25 \frac{kg \cdot m^{2}}{s^{2}} = 3750 J$ .
Odpowiedź:
Energia kinetyczna wózka wynosi $3750$ dżuli.

Przykład2

Jak iile razy zmieni się energia kinetyczna wózka opisanego wprzykładzie poprzednim, gdy po załadowaniu towarami jego masa wzrośnie dwukrotnie, aprędkość pozostanie niezmieniona?
Dane:
$m = 300 kg$ ,
$m_{2} = 2 \cdot m = 2 \cdot 300 kg = 600 kg$ ,
$v_{2} = v = 5 \frac{m}{s}$ .
Szukane:
$\frac{E_{kin 2}}{E_{kin}} = ?$
Rozwiązanie:
Sposób 1:
Obliczamy nową wartość energii kinetycznej wózka:
$E_{kin 2} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^{2} = \frac{1}{2} \cdot 600 kg \cdot {(5 \frac{m}{s})}^{2} = 300 \cdot 25 \frac{kg \cdot m^{2}}{s^{2}} = 7500 J$
idzielimy ją przez wcześniejszą wartość energii kinetycznej:
$\frac{E_{kin 2}}{E_{kin}} = \frac{7500 J}{3750 J} = 2$ .
Odpowiedź:
Energia kinetyczna wózka wzrosła dwukrotnie.
Sposób 2:
Zapisujemy wzór na energię kinetyczną wózka odwukrotnie większej masie:
$E_{kin 2} = \frac{1}{2} \cdot m_{2} \cdot v^{2} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot {m \cdot v}^{2} = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^{2} = 2 \cdot E_{kin}$
(skorzystaliśmy tu zzasady przemienności mnożenia).
Odpowiedź:
Energia kinetyczna wózka załadowanego towarami jest dwa razy większa niż energia kinetyczna wózka pustego.

Zapamiętaj!

Energia kinetyczna ciała jest wprost proporcjonalna do masy ciała. To znaczy, że na przykład ciało otrzykrotnie większej masie ma trzy razy większą energię kinetyczną przy tej samej wartości prędkości.

Przykład3

Samochód omasie $2000 kg$ jechał początkowo zprędkością owartości $10 \frac{m}{s}$ , następnie przyspieszył do $20 \frac{m}{s}$ . Jak iile razy zmieniła się energia kinetyczna samochodu?
Dane:
$m = 2 000 kg$ ,
$v_{1} = 10 \frac{m}{s}$ ,
$v_{2} = 20 \frac{m}{s} = 2 \cdot v_{1}$ .
Szukane:
$\frac{E_{kin 2}}{E_{kin}} = ?$
Rozwiązanie:
Sposób 1
Obliczamy wartość początkowej energii kinetycznej samochodu oraz jej wartość po zwiększeniu prędkości:
$E_{kin 1} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot {v_{1}}^{2} = \frac{1}{2} \cdot 2 000 kg \cdot {(10 \frac{m}{s})}^{2} = 1 000 \cdot 100 \frac{kg \cdot m^{2}}{s^{2}} = 100 000 J = 100 kJ$ ,
$E_{kin 2} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot {v_{2}}^{2} = \frac{1}{2} \cdot 2 000 kg \cdot {(20 \frac{m}{s})}^{2} = 1000 \cdot 400 \frac{kg \cdot m^{2}}{s^{2}} = 400 000 J = 400 kJ$ ,
anastępnie dzielimy te wartości przez siebie:
$\frac{E_{kin 2}}{E_{kin 1}} = \frac{400 kJ}{100 kJ} = 4$ .
Odpowiedź:
Gdy samochód zwiększył swą prędkość dwukrotnie, jego energia kinetyczna wzrosła czterokrotnie.
Sposób 2
Obliczamy iloraz energii kinetycznych po przyspieszeniu iprzed przyspieszeniem:
$\frac{E_{kin 2}}{E_{kin 1}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot m \cdot {v_{2}}^{2}}{\frac{1}{2} \cdot m \cdot {v_{1}}^{2}} = \frac{{(2 \cdot v_{1})}^{2}}{{v_{1}}^{2}} = \frac{4 \cdot {v_{1}}^{2}}{{v_{1}}^{2}} = 4$ .
Odpowiedź:
Po dwukrotnym wzroście prędkości energia kinetyczna samochodu wzrosła czterokrotnie.

Zapamiętaj!

Energia kinetyczna ciała jest proporcjonalna do kwadratu prędkości, co oznacza, że na przykład trzykrotny wzrost prędkości danego ciała (o stałej masie) powoduje aż dziewięciokrotny wzrost jego energii kinetycznej.

Przykład4

Cząsteczki tlenu iwodoru mają takie same energie kinetyczne. Masa cząsteczki tlenu jest 16 raz większa od masy cząsteczki wodoru. Która ztych cząsteczek porusza się szybciej iile razy?
Rozwiązanie:
$m_{tlenu} = 16 \cdot m_{w odoru}$ Indeks dolny , Indeks dolny koniec_,
$E_{kintlenu} = E_{kinwodoru}$ .
Taka sama wartość energii kinetycznej nie oznacza takiej samej prędkości, bo energia kinetyczna zależy też od masy. Skoro masa cząsteczki tlenu jest większa, to tę samą wartość energii kinetycznej cząsteczka ta osiągnie przy mniejszej prędkości. Policzmy:
$E_{kintlenu} = E_{kinwodoru}$ ,
$\frac{1}{2} \cdot m_{tlenu} \cdot {v_{tlenu}}^{2} = \frac{1}{2} \cdot m_{wodoru} \cdot {v_{wodoru}}^{2}$ ,
$16 \cdot m_{wodoru} \cdot {v_{tlenu}}^{2} = m_{wodoru} \cdot {v_{wodoru}}^{2}$ ,
$16 \cdot {v_{tlenu}}^{2} = {v_{wodoru}}^{2}$ ,
$4 \cdot v_{tlenu} = v_{wodoru}$ .

Odpowiedź:
Większą prędkość ma cząsteczka wodoru. Prędkość ta jest 4 razy większa od prędkości cząsteczki tlenu.

Zapamiętaj!

Ciała oróżnych masach mogą mieć takie same energie kinetyczne, jeśli mają różne prędkości. Ciało omasie mniejszej osiągnie tę samą energię kinetyczną co ciało masywniejsze, jeśli jego prędkość będzie większa. Przy czym prędkość silniej wpływa na wartość energii kinetycznej ijuż 10 razy większa prędkość wystarczy, aby uzyskać taką energię, jaką ma ciało omasie 100 razy większej, bez zmiany wartości prędkości.

Polecenie1

Wyszukaj wdostępnych ci źródłach informacji omasach iprędkościach osiąganych przez słonie ipociski karabinowe oraz odpowiedz na pytanie postawione we wstępie do tego modułu: czy pocisk może mieć taką samą energię, jak rozpędzony słoń?

Przykład5

Marek iKrzysiek zII csiedzieli wautokarze, którym zcałą klasą wyjeżdżali na wycieczkę. Piotrek – ich kolega zII bstał na parkingu ipatrzył zzazdrością na odjeżdżających. Na najbliższej lekcji fizyki nauczyciel polecił Markowi iPiotrkowi, aby obliczyli energię kinetyczną Krzyśka podczas jazdy autobusu.
Marek stwierdził, że skoro Krzysiek siedzi obok niego, to jego prędkość jest równa zero, awięc również energia kinetyczna kolegi ma wartość zero, itaką odpowiedź wysłał nauczycielowi.
Piotrek zaś policzył: połowa masy Krzyśka to 25 kg, szybkość Krzyśka jest taka jak całego autokaru, czyli około 10 metrów na sekundę. 10 do kwadratu wynosi 100. Wynik: energia kinetyczna Krzyśka to 2500 Jitakiej udzielił odpowiedzi.
Który zchłopców podał prawidłowy wynik zadania?
Rozwiązanie:
Obaj udzielili poprawnej odpowiedzi. Każdy znich liczył energię kinetyczną względem siebie (a więc wukładach odniesienia związanych zobserwatorem), aponieważ prędkość ciała (w tym wypadku Krzyśka) zależy od układu odniesienia, to tak samo jest wprzypadku wartości energii kinetycznej.

Zapamiętaj!

Wartość energii kinetycznej zależy od układu odniesienia, ponieważ prędkość ciała zależy od układu odniesienia.

Przykład6

Pocisk omasie $m = 5 g$ przed uderzeniem wdrewnianą belkę poruszał się zprędkością owartości $500 \frac{m}{s}$ . Po uderzeniu wbelkę zagłębił się wdrewno na głębokość 20 cm. Oblicz:

energię kinetyczną pocisku przed uderzeniem wprzeszkodę;
pracę, jaką wykonała siła oporu podczas ruchu pocisku wdrewnie;
średnią wartość siły oporu (czyli zakładamy, że ta wartość jest stała).

Dane:
$m = 5 g = 0,005 kg$ ,
$v = 500 \frac{m}{s}$ ,
$s = 20 cm = 0,2 m$ .
Rozwiązanie:

$E_{kin} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^{2} = \frac{1}{2} \cdot 0,005 kg \cdot {(500 \frac{m}{s})}^{2} = 0,0025 \cdot 250000 \frac{kg \cdot m^{2}}{s^{2}} = 625J$ ;
Praca wykonana przez siły oporu ma wartość równą zmianie energii kinetycznej pocisku, czyli: $W_{oporu} = 625 J$ .
Korzystamy ze wzoru na pracę:
$W_{oporu} = F_{oporu} \cdot s$ ,
$F_{oporu} = \frac{W_{oporu}}{s} = \frac{625 J}{0,2 m} = 3125 N$ .

Odpowiedź:
Energia kinetyczna pocisku wynosiła $625 J$ . Siła oporu zmniejszyła ją do zera, wykonując pracę otakiej właśnie wartości. Aby zatrzymać ten pocisk na drodze $20 cm$ , siła ta musiała mieć średnią wartość $3125 N$ .

iRI9TpLmdG_d5e673

Energia kinetyczna to jedna zform energii mechanicznej. Mają ją ciała będące wruchu izależy ona od masy danego ciała oraz wartości jego prędkości.
Energia kinetyczna ciała równa jest pracy, jaką trzeba wykonać, aby ciało omasie m rozpędzić do prędkości v (lub zatrzymać ciało będące wruchu).
Jednostką energii kinetycznej, tak jak wszystkich innych form energii, jest dżul (1 J).
Wartość energii kinetycznej ciała równa jest połowie iloczynu masy ciała ikwadratu wartości jego prędkości: $energiakinetyczna = \frac{1}{2} \cdot masa \cdot {prędkość}^{2}$
$E_{kin} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^{2}$
Energia kinetyczna ciała jest wprost proporcjonalna do masy ciała. To oznacza, że na przykład ciało odwukrotnie większej masie ma dwa razy większą energię kinetyczną przy tej samej wartości prędkości.
Energia kinetyczna ciała jest proporcjonalna do kwadratu prędkości. To oznacza, że na przykład trzykrotny wzrost wartości prędkości danego ciała powoduje aż dziewięciokrotny wzrost jego energii kinetycznej.
Wartość energii kinetycznej zależy od układu odniesienia, ponieważ prędkość ciała zależy od układu odniesienia.
Ciała oróżnych masach mogą mieć takie same energie kinetyczne, jeśli mają różne prędkości. Ciało omasie na przykład 100 razy mniejszej będzie miało tę samą energię kinetyczną co ciało masywniejsze, jeśli jego prędkość będzie 10 razy większa.

Praca domowa

Polecenie2.1

Samochód omasie 1200 kg jedzie zprędkością owartości 30 m/s, anastępnie hamuje do 20 m/s. Oblicz:

początkową ikońcową energię kinetyczną;
zmianę tej energii.

Wskazówka

Zmianę danej wielkości fizycznej obliczamy, odejmując od końcowej wartości tej wielkości jej wartość początkową.

Polecenie2.2

Samochód omasie $m = 1700 kg$ jechał zprędkością $v = 36 \frac{km}{h},$ apo włączeniu hamulców zatrzymał się, przejechawszy jeszcze drogę $s = 10 metrów$ .

Oblicz energię kinetyczną samochodu przed włączeniem hamulców.
Oblicz wartość średniej siły ipracę, jaką wykonała podczas zatrzymywania samochodu.
Ile metrów przejechałby ten hamujący samochód, gdyby jego prędkość początkowa była dwa razy większa? Możemy przyjąć, że siła hamowania była taka sama wobu przypadkach.

Wskazówka

Pamiętaj ozamianie jednostek.

Polecenie2.3

Dwie piłeczki mają taką samą energię kinetyczną. Pierwsza piłeczka ma masę $m_{I} = 9 g$ iporusza się zprędkością owartości $v_{I} = 36 \frac{m}{s}$ . Oblicz prędkość drugiej piłeczki, która ma masę $m_{II} = 1 g$ .

iRI9TpLmdG_d5e725

Ćwiczenie2

RZfdAGIuXySFh1

Energia kinetyczna. Rozwiązywanie zadań

Energia kinetyczna ciała omasie 1 kg poruszającego się zprędkością 1 m/s wynosi

0,5 J.
1 J.
0,5 N.
2 J.
2 N.

Ćwiczenie3

RNmFdWFkJXWaV1

Energia kinetyczna. Rozwiązywanie zadań

Energia kinetyczna ciężarówki omasie 10 ton przy prędkości 20 m/s wynosi 2 MJ. Oblicz wartość energii kinetycznej tej ciężarówki, jeśli po załadunku jej masa wzrośnie do 20 ton, aprędkość się nie zmieni. Wskaż prawidłową odpowiedź.

4 000 000 J
8 kJ
40 MJ
4 000 J
8 MJ

Ćwiczenie4

RI94LzGopPJ6i1

Energia kinetyczna. Rozwiązywanie zadań

Jak iile razy zmieni się energia kinetyczna piłki, jeśli jej prędkość wzrośnie dwukrotnie?

Wzrośnie czterokrotnie.
Wzrośnie dwukrotnie.
Nie zmieni się.
Nie można tego obliczyć – brak danych.
Zmaleje dwukrotnie.

Ćwiczenie5

R14ITdV5nG5a11

Energia kinetyczna. Rozwiązywanie zadań

Rozpędzenie roweru na poziomym torze do prędkości 5 km/h wymagało od kolarza wykonania pracy 100 J. Ile pracy musiałby wykonać ten rowerzysta, aby ten sam rower, wtych samych warunkach, rozpędzić do prędkości 10 km/h?

400 J
200 J
Nie można obliczyć, ponieważ nie znamy masy rowerzysty iroweru.
400 N
50 J